相加相乗平均をAxes3Dで可視化[Pythonで数学]

みなさん相加相乗平均は知っていますか？

たぶん数Ⅱくらいの範囲だと思うのでほとんどの人が聞いたことあると思います。

不等式の証明でよく使うやつですね。

a>0,b>0のとき常に

$$\frac{(a+b)}{2} >= \sqrt{ab}$$

っていうべんりなものです。

今回はこれを可視化してみて相加平均と相乗平均を視覚的にみてみようというかんじでやっていきます。

あと普通は相乗平均って言ったらa>0,b>0の場合のみですが、今回はa<0,b<0のときもいけるように、

a<0,b<0のときは

$$-\sqrt{ab}$$

にしてちょっと拡張して今回はやっていくので許してください。

なしてするんですか？

ここで大体の流れを書いておきます。

相加平均も相乗平均も見ての通り２変数関数なのでグラフにしようとすると３次元のグラフが必要になります。

なのでpythonでグラフ描画といえばmatplotlibと思うかもしれませんがmatplotlibだけだと３DのグラフをかけないのでさらにAxes3Dを追加してやっていきます。

こんなかんじでやっていきまーす。

相加相乗平均を可視化

import matplotlib.pyplot as plt
import scipy
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
fig=plt.figure()
ax=Axes3D(fig)
ax.set_xlabel("a")#x軸の名前をa、
ax.set_ylabel("b")#y軸の名前をb、
ax.set_zlabel("average")#z軸の名前をaverageにする
hani=15
a=list(range(-1*hani,hani+1))#-15から15までの整数のリストを作る
b=list(range(-1*hani,hani+1))
for i in a:
    for k in b:
        if i*k>0:#a*bが正のとき
            if i>0:#aもbも正のとき
                sojo=scipy.sqrt(i*k)#aとbの相乗平均
                soka=(i+k)/2#aとbの相加平均
                ax.scatter(i,k,sojo,c="r",alpha=0.5)#相乗平均を赤色で散布する
                ax.scatter(i,k,soka,c="b",alpha=0.5)#相加平均を青色で散布する
            else:#aもbも負のとき
                sojo=-1*scipy.sqrt(i*k)
                soka=(i+k)/2
                ax.scatter(i,k,sojo,c="r",alpha=0.5)
                ax.scatter(i,k,soka,c="b",alpha=0.5)
        else:#a*bが負のとき
            soka=(i+k)/2
            ax.scatter(i,k,soka,c="b",alpha=0.5)#相加平均を散布する
ax.scatter(0,0,0,c="r")
plt.show()

上から見ていきまーす。

Axes3Dの使い方

fig=plt.figure()
ax=Axes3D(fig)
ax.set_xlabel("a")#x軸の名前をa、
ax.set_ylabel("b")#y軸の名前をb、
ax.set_zlabel("average")#z軸の名前をaverageにする

axes3dはこうやってつかうらしいです。大体覚えてたほうがいいかもですね。

ここはまあ大丈夫ですね。

インスタンス化してラベルの名前を設定しているだけです。

こんなかんじです。

値の範囲を設定

hani=15
a=list(range(-1*hani,hani+1))#-15から15までの整数のリストを作る
b=list(range(-1*hani,hani+1))

ここも書いてる通りですね。

わざわざhaniに15を入れてる理由は、もし値の範囲を変えたいって思ったときに4か所も変えるのが面倒なのでhaniを変えたら全部一気に変わるようにしています。

わたしは-15~15くらいがちょうどよかったのでこうしてますがもちろん色々変えてやってみてもいいと思います。

相加相乗平均の点を打っていきます

for i in a:
    for k in b:
        if i*k>0:#a*bが正のとき
            if i>0:#aもbも正のとき
                sojo=scipy.sqrt(i*k)#aとbの相乗平均
                soka=(i+k)/2#aとbの相加平均
                ax.scatter(i,k,sojo,c="r",alpha=0.5)#相乗平均を赤色で散布する
                ax.scatter(i,k,soka,c="b",alpha=0.5)#相加平均を青色で散布する
            else:#aもbも負のとき
                sojo=-1*scipy.sqrt(i*k)
                soka=(i+k)/2
                ax.scatter(i,k,sojo,c="r",alpha=0.5)
                ax.scatter(i,k,soka,c="b",alpha=0.5)
        else:#a*bが負のとき
            soka=(i+k)/2
            ax.scatter(i,k,soka,c="b",alpha=0.5)#相加平均を散布する

ここがメインですね。